城市低空无人机航路规划：高密度 CBD 场景下的理论与算法

当数百架无人机同时穿梭于摩天大楼之间，航路规划早已不是”从 A 点飞到 B 点”的简单问题——它是一个在三维空间、时间、能量、安全性之间寻找平衡的高维约束优化难题。

引言：为什么 CBD 特别难？

城市低空空域通常定义为地面以上 0–300 m（AGL）的飞行区间，这一高度层恰好是无人机物流、巡检、应急响应等应用的主战场。而 CBD（Central Business District，中央商务区）是其中最复杂的子场景，原因有三：

1. 密集建筑群形成”城市峡谷”

高楼林立使可用飞行廊道极为狭窄，视线遮蔽导致 GPS 精度下降，建筑物边缘还会产生强烈的绕流湍流——在 50 m 以下的低空，这些湍流完全可以令小型多旋翼失去控制。

2. 高密度 UAV 引发密集冲突

郊区场景中，同一时段可能只有数架无人机；而在成熟的城市空中交通管理（UTM）体系下，CBD 上空的无人机数量可能达到每分钟 40 架以上。这意味着冲突探测与解除（Conflict Detection & Resolution, CD&R）成为系统的核心瓶颈，而非边缘功能。

3. 动态障碍与多约束耦合

除建筑物外，无人机还要应对临时禁飞区、有人机航线、实时风场变化，以及来自地面人群密度的安全风险——所有这些因素共同作用，使得任何单一的路径规划算法都难以单独应对。

1. 问题建模：把飞行问题变成数学问题

1.1 三维占用栅格（3D Occupancy Grid）

将城市空间离散化为体素（Voxel）网格，每个体素记录其占用状态：

障 碍 物 禁 飞 区 可 飞 行

体素分辨率通常为 1–5 m，CBD 核心区域可细化至 0.5 m。建筑物高度数据来源于 GIS（地理信息系统）数据库，结合实时传感器实现动态更新。

1.2 4D 轨迹的数学定义

单架 UAV 的飞行轨迹是一条关于时间参数化的空间曲线：

引入时间维度后，轨迹升维为 4D 时空曲线，这正是所谓 4D 轨迹规划的核心思想：通过时间调度（到达某点的时刻）来规避空间上的冲突，比纯粹的空间绕行代价更低。

多机系统中，任意两架 UAV 在任意时刻均须满足安全分离约束：

其中为最小安全间距，典型取值为 5–30 m（视飞行速度和 GPS 精度而定）。

1.3 多目标优化问题的一般形式

航路规划本质上是一个带约束的多目标优化问题：

其中各分项含义如下：

分项	含义	典型度量
	路径长度
	飞行时间
	能量消耗
	地面风险	飞越人口密度区的积分

约束条件（缺一不可）：

无障碍：
动力学：（UAV 运动学 / 动力学模型）
安全分离：
边界条件：
速度限制：

2. 单机路径规划算法

在处理多机协同之前，先理解单机场景下的核心算法。

2.1 A* 算法：图搜索的基石

A* 在离散化的空域图（Waypoint Graph 或 Visibility Graph）上搜索最短路径。每个节点的评估值为：

其中是从起点到节点的实际累积代价：

是从到目标的可容许启发函数（admissible heuristic，永不高估真实代价）。城市 3D 空间中常用欧氏距离启发：

在城市场景中，仅考虑几何距离是不够的。引入地面风险加权边代价：

其中为廊道段长，为该廊道的地面风险评分（综合人口密度、建筑物类型、事故后果等因素），为风险权重系数。这使得 A* 倾向于选择飞越低风险区域（如河流、公园）的路径，即便稍微绕路。

A* 的局限：空域图的质量决定了解的质量。在高密度 CBD 中，图的节点数可达数十万，且图的构建本身就是一个挑战。

2.2 RRT* 算法：概率完备的渐近最优规划

RRT*（Rapidly-exploring Random Tree Star）通过在连续空间随机采样来探索可行路径，特别适合高维、复杂障碍物场景。

最近邻查询——在树中找到离随机采样点最近的节点：

步进扩展——从向方向延伸步长：

RRT 的核心改进——重连（Rewire）：* 在以为圆心、半径的球内寻找所有近邻节点：

其中为当前树的节点数，为空间维度（3D 场景），是与自由空间体积相关的常数。该半径随采样点增加而收缩，保证渐近最优性。

代价更新：

若通过能降低的代价，则执行重连：

若 则 将 的 父 节 点 改 为

随着采样次数趋于无穷，RRT* 保证以概率 1 收敛到最优解：

（ 几 乎 必 然 ）

2.3 人工势场法（APF）：实时性之王

APF 把目标构造为引力场，把障碍物构造为斥力场，UAV 在合力作用下运动。

引力势（二次势阱，拉向目标）：

斥力势（在障碍物影响半径内激活）：

其中为 UAV 到最近障碍物的净空距离。

合力（总势场的负梯度）：

显式梯度分量：

APF 的在线更新通常较轻量，适合实时避障；但若按前述定义直接计算最近障碍距离，朴素实现每步通常至少需遍历障碍集合，即约为。只有在已预计算距离场、ESDF 或栅格查询的前提下，单步查询才可近似视为 )。不过在 CBD 峡谷中它仍有一个致命弱点：局部极小值——当引力和斥力恰好平衡时，UAV 会卡在一个非目标点无法前进。改进方案包括随机扰动、谐波势场或与 RRT 结合的 PF-RRT 算法。

2.4 快速行进平方法（FM²）：波前传播的优雅

FM²（Fast Marching Square）通过求解 Eikonal 方程来生成平滑轨迹，特别适合 4D 冲突回避。

Eikonal 方程——描述波前到达时间的偏微分方程：

其中是空间中的传播速度。构造基于净空距离的速度图，使波前在障碍物附近自然减速：

求解后，路径通过对场做梯度下降提取：

扩展到 4D 冲突回避： 引入时变速度图，在已被其他 UAV 占用的时空区域令：

当时，波前自然绕开该时空冲突体积，实现无碰撞的 4D 路径。FM² 生成的路径天然平滑（连续），无需额外的平滑后处理。

3. 高密度场景的核心难题：冲突探测与解除（CD&R）

高密度 UAV 场景的根本挑战不是找到一条路，而是保证所有路同时安全。

3.1 冲突探测（Conflict Detection）

定义 UAV 和之间的相对位置向量：

冲突判定条件（水平且垂直分离同时违反）：

参考 NASA UTM CONOPS 典型参数：水平分离标准，垂直分离标准。

实践中，系统需要在飞行前预测冲突而非等冲突发生再响应。在前瞻窗口内假设 UAV 匀速飞行：

最近接近点（CPA, Closest Point of Approach）时刻：

CPA 处的最小间距：

当且时，判定存在预测冲突，需要立即触发解除机制。

3.2 冲突解除（Conflict Resolution）

解除策略分为三类，可单独使用或组合使用：

策略一：速度调整（Speed Adjustment）

对 UAV 施加速度缩放因子，在动力学允许范围内减速或加速：

最优在满足分离约束的前提下最小化对原计划的偏离：

策略二：航向偏转（Heading Change）

在水平面内将 UAV 的飞行方向旋转：

策略三：高度层分离（Altitude Layer Separation）

CBD 场景中，依照飞行方向分配固定高度层是最高效的系统性方案：

典型配置：东行，西行，北行，南行，层间距。这将三维碰撞问题降维为二维问题，大幅降低系统复杂度。

3.3 分散式协调：速度障碍与 ORCA

集中式 UTM 能获得全局最优解，但通信开销随无人机数量以增长，在极高密度场景中面临瓶颈。分散式方案中，**速度障碍（Velocity Obstacle, VO）**及其改进 ORCA 是最成熟的框架。

速度障碍定义——UAV 因 UAV 存在而被封禁的速度集合（所有会在时间窗口内导致碰撞的速度）：

其中是半径为的圆盘/球体，是 Minkowski 和。

最优互惠碰撞规避（ORCA）——每个智能体只承担”一半”的规避责任，避免过度保守。ORCA 为智能体相对于定义一个半空间约束：

其中是最小速度变化量的大小，指向边界的法方向。

智能体的可行速度集（对所有邻居约束取交集，再与动力学约束求交）：

其中编码最大速度、加速度等动力学约束。ORCA 在 40 架/分钟以上的密度场景中已实现 100% 成功率，计算复杂度，适合实时部署。

4. 图论建模：城市空域网络

4.1 航路网络图的构建

城市空域被建模为加权有向图：

节点：道路交叉口上空、建筑物顶部、关键中转点
边：两节点间的合法飞行廊道（需通过碰撞检测验证）
边权：多目标标量化加权

廊道容量约束（同一时刻通行 UAV 数不超过上限）：

整个空域的占用状态可用四维张量描述（为体素网格，为时间槽数量）：

占 用 体 素 在 时 间 槽

4.2 旋翼无人机能耗模型

能耗是航路规划的重要优化目标，需要精确建模。

悬停功率（叶素动量理论推导）：

其中为无人机质量，为重力加速度，为空气密度，为旋翼盘面积。

前飞功率模型（Zeng et al. 2019，三项物理分量）：

叶 片 型 阻 诱 导 功 率 机 身 阻 力

参数含义：为悬停叶片型阻功率，为悬停诱导功率，为旋翼桨尖速度，为悬停诱导速度，为机身阻力系数，为旋翼实度，为旋翼盘面积。

飞越段（长度，速度）的能耗：

最优巡航速度（单位距离能耗最小）：

对典型小型多旋翼（），通常在 8–12 m/s 之间。

5. 风场与城市峡谷效应

5.1 城市风场建模

城市峡谷中的风速分布远比郊野复杂，Weibull 分布被广泛用于统计建模：

其中形状参数 –（城区湍流较强时取较小值），为尺度参数（由局部气象测量定标）。

近地面风速的对数廓线（适用于屋顶高度以下的表面层）：

（ á á 常 数 ）

其中为摩擦速度，为零平面位移高度，为粗糙长度。

风场对航路规划的定量影响：

风修正行驶时间（沿廊道方向分量）：

含风阻的段能耗积分（真空速 = 地速风速）：

湍流强度指数（量化廊道风险，用于边权的风险分量）：

的廊道通常被标记为高风险，规划器会主动避开或提高该段的边权。

5.2 动态安全半径

建筑物附近的绕流湍流随高度余量减小而急剧增强，因此安全净空距离不应是固定常数，而应随飞行高度动态调整：

其中为当前飞行高度，为附近建筑物高度，为防止分母为零的正则化项。这一公式意味着：UAV 与建筑物顶部的高度余量越小，要求的横向净空距离越大。

动态净空约束：

6. 多机协同优化：MILP 全局建模

对于架无人机的联合路径与时隙分配问题，可建立**混合整数线性规划（MILP）**模型，在小到中等规模（）时求得全局最优解。

目标函数（最小化所有无人机的总完成时间与能耗）：

决策变量：

：无人机是否选择廊道
：无人机到达节点的时刻

约束一——流量守恒（每架无人机进出中间节点各一次）：

其中分别对应起点、中间节点、终点。

约束二——廊道容量：

约束三——时间一致性（到达时间与行驶时间匹配）：

约束四——时间分离（同一节点上不同无人机须保持时间间隔，Big-M 线性化）：

其中是无人机、在节点的时序排序变量，为足够大的常数（Big-M 方法）。

当速度也作为决策变量时，问题升级为混合整数非线性规划（MINLP）：

MINLP 是 NP-hard 问题，实用中常用启发式算法（随机分形搜索 SFS、猎豹优化 MCO 等）近似求解。

7. 强化学习方案：MARL 与注意力机制

当无人机规模超过百架，MILP 的计算复杂度不可接受。**多智能体强化学习（MARL）**提供了一种训练离线、推理极快的替代方案。

7.1 奖励函数设计

每架无人机在时间步获得的奖励：

各项含义：为到达目标的正奖励；为每步飞行的时间惩罚；为发生冲突时的惩罚；为偏离直线的绕行惩罚。

7.2 Double-DQN 更新（离散动作空间）

在线网络选择动作，目标网络评估价值，解耦选择与评估以减少过估计偏差。

7.3 注意力机制：建模邻机影响

CBD 中每架无人机的决策需感知周围邻机状态。注意力机制允许智能体动态地对邻居的影响进行加权：

注意力权重反映了邻机对智能体决策的相关性，距离近、速度冲突大的邻机自然获得更高权重。

7.4 PPO 策略梯度（连续 / 混合动作空间）

其中概率比：

Clip 操作将更新步长限制在范围内（通常），防止策略更新过大导致训练崩溃。

集中训练、分散执行（CTDE）范式：

训练阶段：评价网络使用全局状态，能够感知所有智能体信息
执行阶段：策略网络只使用智能体的局部观测，无需通信

8. 轨迹平滑：Bézier 曲线与 Minimum Snap

路径规划输出的往往是一系列离散航路点，直接跟踪这些路径点会产生不可行的急转弯。需要通过轨迹平滑生成动力学可行的连续轨迹。

8.1 Bézier 曲线

阶 Bézier 曲线由个控制点定义：

速度（对参数求导）：

Bézier 曲线天然具备凸包性质——曲线始终在控制点的凸包内，便于障碍物碰撞检查。曲率约束（限制向心加速度）：

8.2 Minimum Snap：四旋翼的标准方案

对于四旋翼无人机，最小化 Snap（加速度的二阶导数）等价于最小化所需推力的变化率，产生最优的飞行动态：

将轨迹表示为分段多项式，上述无限维优化问题可化为二次规划（QP）：

矩阵编码 Snap 积分（可解析计算），等式约束强制轨迹通过所有路径点并保证各段之间的位置、速度、加速度连续性。

9. 方法横向对比

方法	完备性	最优性	时间复杂度	实时性	多机扩展性
A*	完备	最优（离散图）		中	差
RRT*	概率完备	渐近最优		较好	中
APF	不完备	无保证	/步	极好	好
FM²	完备	最优（连续）		中	中
MILP	完备	全局最优	NP-hard	差	中（）
ORCA	概率完备	局部最优		极好	极好
MARL+Attn	概率完备	近似	训练重，推理快	好	极好

选型建议：

小规模、高安全要求（）→ MILP 全局最优
中等规模、实时性敏感（）→ A* / RRT* + ORCA 冲突解除
大规模、高密度（）→ MARL + 注意力机制（推理延迟）

10. 总结与展望

城市低空，尤其是 CBD 场景下的高密度 UAV 航路规划，是多学科交叉的系统工程难题。本文梳理了从单机路径规划（A*、RRT*、APF、FM²）到多机冲突消解（CD&R、ORCA、MILP）再到学习型方法（MARL、PPO、注意力）的完整方法链，并给出了各核心环节的精确数学表达。

三个主要的未解挑战：

实时在线 Replanning：当突发禁飞区或无人机故障时，系统需在 200 ms 内完成所有受影响轨迹的重新规划。目前 MILP 远达不到这个要求，MARL 是最有前景的候选。
数字孪生与感知融合：精确的实时城市三维地图（含动态建筑施工、临时围挡、气象信息）是航路规划质量的基础，数字孪生技术有望实现厘米级、亚秒级的空域状态同步。
监管框架的技术化落地：中国民航局（CAAC）低空管理法规、欧洲 EASA U-Space 以及美国 FAA UTM CONOPS 均对冲突解除时间、飞行计划提交格式、紧急降落程序等有明确要求，算法设计需与监管边界深度耦合。

从数学角度看，城市低空航路规划是一个非凸、非线性、混合整数、多智能体、实时约束的优化问题。没有哪个单一框架能”一键解决”——工程实践中，往往是多层次的混合架构：战略层用图规划，战术层用 ORCA，紧急层用 APF，共同构成一个鲁棒的空中交通管理系统。

主要参考文献：

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